Kakšna je moč številke

  • Razlogi

Upoštevajte, da se ta oddelek ukvarja s pojmom stopnje samo z naravnim indikatorjem in nič.

Koncept in lastnosti stopenj z racionalnimi eksponenti (z negativnimi in delnimi) bodo obravnavane v učnih urah za razred 8. t

Torej, poglejmo, kakšna je moč številke. Večkratno zapisovanje izdelka samega števila uporablja skrajšani zapis.

Namesto produkta šestih enakih faktorjev 4, 4, 4, 4, 4, 4 napišejo 4 6 in rečejo »štiri do šeste stopnje«.

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Izraz 4 6 se imenuje moč števila, kjer:

  • 4 - osnova stopnje;
  • 6 - eksponent.

Na splošno se stopnja z osnovo "a" in indeksom "n" napiše z uporabo izraza:

Stopnja števila »a« z naravnim indeksom »n«, ki je večja od 1, je produkt »n« enakih faktorjev, od katerih je vsak enak številu »a«.

Zapis »n« se glasi takole: »toda moč n« ali »n-ta moč števila a«.

Izjeme so zapisi:

  • a 2 - lahko se izgovori kot "kvadrat";
  • a 3 - lahko se izgovori kot »vendar v kocki«.

Seveda lahko zgornje izraze preberete tako, da določite stopnjo:

  • a 2 - »in v drugi stopnji«;
  • a 3 - "in v tretji stopnji."

Posebni primeri se pojavijo, kadar je eksponent en ali nič (n = 1; n = 0).

Stopnja števila "a" z indeksom n = 1 je samo število:
a 1 = a

Vsaka številka v ničelni stopnji je ena.
a 0 = 1

Nič v kateri koli stopnji je nič.
0 n = 0

Enota na katero koli stopnjo je enaka 1.
1 n = 1

Izraz 0 0 (nič do nič) se šteje za nesmiseln.

Pri reševanju primerov se je treba zavedati, da se dvig do moči imenuje iskanje numerične ali abecedne vrednosti po dvigu na moč.

Primer. Dvigni se do stopnje.

  • 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
  • 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
  • (

Dvig negativnega števila

Osnova stopnje (število, ki se dvigne na moč) je lahko poljubno število - pozitivno, negativno ali nič.

Pri dvigu na pozitivno število dobimo pozitivno število.

Pri konstruiranju ničelne stopnje naravnosti dobimo ničlo.

Pri dvigovanju negativnega števila na moč je lahko rezultat pozitivno ali negativno število. To je odvisno od tega, ali je eksponent liho ali liho.

Razmislite o primerih dviga na moč negativnih števil.

Iz obravnavanih primerov je jasno, da če se negativno število dvigne na liho stopnjo, potem dobimo negativno število. Ker je produkt neparnega števila negativnih dejavnikov negativen.

Če se negativno število dvigne na enakomerno moč, se dobi pozitivno število. Ker je produkt parnega števila negativnih dejavnikov pozitiven.

Negativno število, dvignjeno na enakomerno moč, je pozitivno število.

Negativno število, dvignjeno na liho moč, je negativno število.

Kvadrat katerega koli števila je pozitivno število ali nič, to je:

a 2 ≥ 0 za vse a.

  • 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
  • −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Bodite pozorni!

Pri reševanju primerov eksponentiranja pogosto delajo napake, pri čemer pozabljajo, da so vnosi (−5) 4 in −5 4 različni izrazi. Rezultati eksponiranja teh izrazov bodo različni.

Izračun (−5) 4 pomeni, da se najde vrednost četrte moči negativnega števila.

Pri iskanju »−5 4« pomeni, da je treba primer rešiti v dveh korakih:

  1. Dvignite na četrto moč pozitivno številko 5.
    5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
  2. Pred rezultatom postavite znak minus (to je, izvedite dejanje odštevanja).
    −5 4 = −625

Primer. Izračunajte: −6 2 - (−1) 4

  1. 6 2 = 6,6 = 36
  2. −6 2 = −36
  3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
  4. - (- 1) 4 = −1
  5. −36 - 1 = −37

Postopek v primerih s stopinjami

Izračun vrednosti se imenuje dejanje eksponenta. To je dejanje tretjega koraka.

V izrazih s pooblastili, ki ne vsebujejo oklepajev, najprej izvršijo moč, nato pomnožijo in delijo ter na koncu dodajo in odštejejo.

Če v izrazu obstajajo oklepaji, najprej v zgornjem vrstnem redu izvedite dejanja v oklepajih in nato preostala dejanja v istem vrstnem redu z leve proti desni.

Da bi olajšali rešitev primerov, je koristno poznati in uporabljati tabelo, ki jo lahko brezplačno prenesete na naši spletni strani.

Če želite preveriti svoje rezultate, lahko uporabite spletni kalkulator za dvig stopnje na naši spletni strani.

Stopnja števila: definicije, oznake, primeri.

V tem članku bomo razumeli, kakšna je stopnja števila. Tu bomo podali definicije stopnje števila, s podrobnim pregledom vseh možnih kazalnikov stopnje, začenši z naravnim indikatorjem in končano z iracionalnim. V gradivu boste našli veliko primerov stopinj, ki pokrivajo vse razlik, ki se pojavijo.

Pomaknite se po strani.

Stopnja z naravnim indikatorjem, kvadrat števila, kocka števila

Za začetek bomo podali definicijo stopnje števila z naravnim indeksom. Če pogledamo naprej, rečemo, da je definicija stopnje a z naravnim indeksom n podana za realno število a, ki ga bomo imenovali baza stopnje, in naravno število n, ki ga bomo poimenovali eksponent. Ugotavljamo tudi, da je stopnja z naravnim indeksom določena skozi produkt, tako da morate za razumevanje spodnjega gradiva imeti idejo o množenju števil.

Stopnja a z naravnim indeksom n je izraz oblike a n, katere vrednost je enaka zmnožku n faktorjev, od katerih je vsak enak a, tj.
Še posebej je stopnja a z indeksom 1 samo število a, to je a 1 = a.

Iz te definicije je jasno, da lahko s pomočjo stopnje z naravnim indeksom zapišemo dela več enakih dejavnikov. Na primer, 8,88,8 lahko zapišemo kot stopnjo 8 4. To je analogno temu, kako je vsota enakih izrazov napisana z delom, na primer 8 + 8 + 8 + 8 = 8,4 (glej splošno predstavo o množenju naravnih števil).

Takoj je treba povedati o pravilih branja. Univerzalni način branja n zapisa je: "a moči n". V nekaterih primerih so dopustne tudi take različice: „a do n-te stopnje“ in „n-ta moč števila a“. Na primer, vzemite oceno 8 12, to je »osem do dvanajstih« ali »osem do dvanajste moči« ali »dvanajsta moč osem«.

Druga stopnja števila in tretja stopnja številke imata svoje ime. Druga moč števila se imenuje kvadrat števila, na primer 7 2 se glasi kot »sedem kvadratov« ali »kvadrat števila sedem«. Tretja moč številke se imenuje kocka števila, npr. 5 3 lahko beremo kot »pet v kocki« ali rečemo »kocka števila 5«.

Čas je, da navedete primere stopenj z naravnimi kazalci. Začnimo s stopnjo 5 7, pri čemer je 5 osnova stopnje in 7 je eksponent. Naj navedemo še en primer: decimalna frakcija 4,32 je osnova, pozitivno celo število 9 pa je eksponent (4.32) 9.

Prosimo, upoštevajte, da je v zadnjem primeru osnova stopinje 4.32 napisana v oklepajih: da bi se izognili razlikam, bomo vzeli vse osnove stopnje v oklepajih, ki se razlikujejo od naravnih števil. Kot primer navedemo naslednje stopnje z naravnimi indikatorji, njihove osnove niso naravne številke, zato so zapisane v oklepajih. Torej, za popolno jasnost v tem trenutku pokažemo razliko, ki jo vsebuje zapis v obliki (−2) 3 in −2 3. Izraz (−2) 3 je stopnja negativnega števila −2 z naravnim indeksom 3, izraz −2 3 (lahko ga zapišemo kot - (2 3)) pa ustreza številki, ki je nasprotna vrednosti stopnje 2 3.

Upoštevajte, da obstaja zapis za stopnjo a z indeksom n oblike a ^ n. Poleg tega, če je n večkratno pozitivno celo število, se eksponent zajema v oklepajih. Na primer, 4 ^ 9 je drug vnos stopnje 4 9. Tu je še nekaj primerov snemanja stopinj z uporabo simbola "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). V nadaljevanju bomo v glavnem uporabili zapis za stopnjo oblike a n.

Zgornja opredelitev omogoča, da se z naravnim indikatorjem ugotovi vrednost stopnje. V ta namen izračunajte produkt n enakih faktorjev, ki je enak a. Ta tema si zasluži podrobno obravnavo v ločenem članku - glej eksponentiranje z naravnim indikatorjem.

Ena od nalog, inverzna konstrukcija z naravnim indikatorjem, je problem iskanja osnove stopnje z znano vrednostjo stopnje in znanega indikatorja. Ta naloga vodi do koncepta korena iz številke.

Prav tako je vredno raziskati lastnosti stopnje z naravnim indeksom, ki izhaja iz te definicije stopnje in lastnosti množenja.

Stopnja s celim številom

Ko smo določili stopnjo a z naravnim indeksom, se pojavi logična želja razširiti pojem stopnje in se premakniti na stopnjo števila, katerega kazalec bo celo število, vključno z negativnim in ničelnim. To je treba narediti tako, da bodo vse lastnosti stopnje z naravnim indeksom ostale veljavne, saj so naravna števila del celih števil.

Stopnja a s pozitivnim številom je nič več kot stopnja a z naravnim eksponentom:, kjer je n pozitivno celo število.

Sedaj definiramo ničelno moč a. Izhajamo iz lastnosti parcialnih moči z enakimi osnovami: za naravna števila m in n, m m: a n = a m - n (pogoj a is 0 je potreben, ker bi drugače imeli delitev na nič). Za m = n pisna enakost vodi do naslednjega rezultata: a n: a n = a n - n = a 0. Po drugi strani pa je n: a n = 1 kot količnik enakih števil n in n. Zato moramo sprejeti 0 = 1 za vsako nenično ničelno realno število a.

Kaj pa stopnja nič do nič? Pristop, uporabljen v prejšnjem odstavku, v tem primeru ni primeren. Lahko spomnimo lastnost produkta stopinj z istimi bazami a m · a n = a m + n, še posebej, kadar je n = 0, imamo m · a 0 = a m (ta enakost kaže tudi, da je 0 = 1). Pri a = 0 dobimo enakost 0 m · 0 0 = 0 m, ki jo lahko ponovno napišemo kot 0 = 0, velja za vse naravne m, ne glede na to, kaj je vrednost izraza 0 0 enaka. Z drugimi besedami, 0 0 je lahko enako poljubnemu številu. Da bi se izognili tej dvoumnosti, moči ničelnega nič ne bomo dodelili ničelnega smisla (iz istih razlogov, ko smo preučevali delitev, izrazu 0: 0 nismo dali pomena).

Preprosto je preveriti, da je naša enakost a 0 = 1 za nenularna števila a skladna z lastnostjo stopnje do stopnje (a m) n = a m · n. Za n = 0 imamo (a m) 0 = 1 in m · 0 = a 0 = 1, pri m = 0 pa imamo (a 0) n = 1 n = 1 in a 0 · n = a 0 = 1.

Tako smo prišli do definicije diplome z ničelnim indikatorjem. Stopnja eksponenta (z ničelnim realnim številom) je ena, to je a 0 = 1 za a. 0.

Dajmo primere: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 in 0 0 ni definirano.

Določimo ničelno stopnjo števila a, ostanemo določiti celo število negativnih stopenj števila a. To nam bo pomagalo vse isto lastnost produkta stopinj z istimi bazami a m · a n = a m + n. Vzemimo m = −n, ki zahteva pogoj a, 0, nato a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1, iz česar sklepamo, da sta n in a - n medsebojno inverzna števila. Zato je logično, da je število a definirano kot celo število negativnih stopenj −n kot ulomka. Preprosto je preveriti, da je pri takšni nalogi stopnja neničelnega števila a s celoštevilskim negativnim eksponentom vse lastnosti stopnje z naravnim eksponentom (glej lastnosti eksponenta z eksponentom cele številke) resnična, za kar smo si prizadevali.

Zvočni smo z definicijo stopnje s celotnim negativnim indeksom. Stopnja a z negativno celo −n (ne-ničelno realno število) je frakcija, to je z ≠ 0 in pozitivno celo število n.

Razmislite o tej definiciji stopnje z negativnim številom na posebnih primerih:.

Povzemite informacije o tej točki.

Stopnja a z celim številom z je definirana kot:

Stopnja z racionalnim kazalnikom

Iz celoštevilskih eksponentov števila a se kaže sam prehod na racionalni kazalnik. V nadaljevanju definiramo stopnjo z racionalnim indikatorjem in to naredimo tako, da ohranimo vse lastnosti stopnje s celotnim indikatorjem. To je potrebno, ker so cela števila del racionalnih števil.

Znano je, da je množica racionalnih števil sestavljena iz celih števil in frakcijskih števil, vsako delno število pa je lahko predstavljeno kot pozitivni ali negativni navadni del. V prejšnjem odstavku smo definirali stopnjo z eksponentom celega števila, zato moramo za dokončanje definicije eksponenta z racionalnim eksponentom dati pomen stopnji a s frakcijskim eksponentom m / n, kjer je m celo število in je n naravno. Naredimo to.

Razmislite o stopnji z delnim eksponentom. Da bi bila lastnina diplome veljavna, mora biti enakost izpolnjena. Če upoštevamo pridobljeno enakost in kako smo določili korenino n-te stopnje, je logično sprejeti, če je za dano m, n in a izraz smiseln.

Preprosto je preveriti, ali so vse lastnosti stopnje s celim številom veljavne (to je storjeno v poglavju o lastnostih stopnje z racionalnim kazalnikom).

Zgornje sklepanje nam omogoča, da sklepamo naslednje: če je za dano m, n in a izraz smiseln, potem je stopnja a z delnim indeksom m / n koren n-te stopnje od a do stopnje m.

Ta trditev nas tesno povezuje z definicijo stopnje s frakcijskim eksponentom. Ostaja le pisanje, za katerega je m, n in a smiselno izražanje. Glede na omejitve, ki jih nalagajo m, n in a, obstajata dva osnovna pristopa.

Najlažje je omejiti na a, pri čemer je a≥0 za pozitivno m in a> 0 za negativno m (ker za m≤0 stopnja 0 m ni definirana). Potem dobimo naslednjo definicijo stopnje s frakcijskim eksponentom.

Stopnja pozitivnega števila a z delnim indeksom m / n, kjer je m celo število in n pozitivno celo število, se imenuje n-ti koren a na moč m, tj.

Tudi frakcijsko stopnjo nič določimo z edinim pridržkom, da mora biti kazalnik pozitiven.

Stopnja nič z delnim pozitivnim indeksom m / n, kjer je m pozitivno celo število in n pozitivno celo število, je definirana kot.
Če stopnja ni določena, to pomeni, da stopnja števila nič z delnim negativnim indikatorjem nima smisla.

Opozoriti je treba, da je s to definicijo stopnje z delnim eksponentom en odtenek: za nekatere negativne a in nekatere m in n je izraz smiseln in te primere smo spustili z vnosom pogoja a≥0. Na primer, smiselno je napisati ali, in zgornja definicija nas naredi, da pravimo, da stopnje z delnim indeksom vrste nimajo smisla, saj osnova ne sme biti negativna.

Drugi pristop za določanje stopnje z delnim m / n je obravnava ločenih in enakih korenskih indeksov. Ta pristop zahteva dodaten pogoj: stopnja števila a, katerega indikator je zmanjšana frakcija, se šteje za stopnjo števila a, katerega kazalnik je ustrezna nevredljiva frakcija (razložimo pomen tega pogoja tik pod). To pomeni, da če je m / n nepovratna frakcija, potem se za vsako naravno število k stopnja nadomesti z.

Za celo n in pozitivno m je izraz smiseln za vse ne-negativne a (celo koren negativnega števila nima smisla), pri negativnih m pa mora biti tudi število a ne-nič (drugače delite z ničlo). Pri lihih n in pozitivnih m je število a lahko poljubno (koren liha se določi za vsako realno število), za negativno m pa mora biti število a različno od nič (tako da ni delitve z ničlo).

Zgornje sklepanje nas pripelje do takšne definicije stopnje z delnim eksponentom.

Naj bo m / n nesvodljiva frakcija, m celo število in n pozitivno celo število. Za vsako zmanjšljivo frakcijo se stopnja nadomesti z. Za stopnjo a z nespremenljivim delnim eksponentom m / n velja

  • poljubno realno število a, pozitivno celo število m in liho pozitivno celo število n, na primer;
  • vsako neničelno realno število a, celotno negativno m in liho n, na primer;
  • katero koli ne-negativno število a, celo število pozitivnih m in celo n, npr.
  • katerikoli pozitivni a, celo število negativnih m in celo n, npr.
  • v drugih primerih stopnja z delnim eksponentom ni definirana, npr. stopnje niso definirane.

Razložimo, zakaj je stopnja s frakcijskim eksponentom, ki se lahko prekliče, predhodno nadomeščena s stopnjo z neizvedljivim eksponentom. Če preprosto definiramo stopnjo kot, in ne naredimo pridržka o neskladnosti frakcije m / n, se bomo soočili s situacijami, kot so naslednje: od 6/10 = 3/5, potem mora enakost imeti, a, a.

Upoštevajte, da je prva definicija stopnje z delnim indeksom lažja za uporabo kot druga. Zato ga bomo uporabljali tudi v prihodnje.

stopnjo pozitivnega števila a z delnim indeksom m / n definiramo kot, za negativne zapise ne pripišemo nobenega pomena, stopnjo števila nič določimo za pozitivne delne kazalnike m / n, ker za negativne ulomne kazalce stopnja števila nič ni določena.

V zaključku tega odstavka opozarjamo na dejstvo, da lahko delni eksponent zapišemo v obliki decimalnega deleža ali mešanega števila, npr. Za izračun vrednosti izrazov tega tipa morate vpisati eksponent kot navaden ulomek in nato uporabiti definicijo stopnje s frakcijskim eksponentom. Za navedene primere imamo in.

Stopnja z iracionalnim in veljavnim indikatorjem

Znano je, da se množica realnih števil lahko obravnava kot združitev množic racionalnih in iracionalnih števil. Zato se lahko stopnja z veljavnim kazalnikom šteje za definirano, ko se določi stopnja z racionalnim kazalnikom in stopnja z iracionalnim kazalnikom. O stopnji smo govorili z racionalnim kazalnikom v prejšnjem odstavku, ostaja stopnja z iracionalnim kazalnikom.

Koncept stopnje a z iracionalnim indeksom se bo postopoma približal.

Pustiti je zaporedje decimalnih približkov iracionalno številko. Na primer, vzemite iracionalno številko, nato jo lahko sprejmete, ali itd. Treba je omeniti, da so številke racionalne.

Zaporedje racionalnih števil ustreza zaporedju stopinj in vrednosti teh stopenj lahko izračunamo na podlagi materiala izdelka, ki se dvigne v racionalno stopnjo. Kot primer vzemimo a = 3, potem pa, po dvigu do moči, dobimo.

Končno se zaporedje konvergira v določeno število, ki je vrednost moči a z iracionalnim eksponentom. Vrnimo se na naš primer: stopnja z iracionalnim indikatorjem oblike konvergira v število, ki je enako 6,27 s točnostjo ene stotine.

Stopnja pozitivnega števila a z iracionalnim indeksom je izraz, katerega vrednost je enaka meji zaporedja, kjer so zaporedne decimalne aproksimacije iracionalnega števila.

Stopnja števila nič je določena za pozitivne iracionalne kazalnike, s tem. Na primer. In stopnja števila 0 z negativnim iracionalnim kazalnikom ni določena, na primer ni definirana.

Ločeno je treba povedati o iracionalni stopnji enote - enota v kateri koli iracionalni stopnji je enaka 1 Na primer, in.

Korenine in stopnje

Stopnja

Stopnja je izraz obrazca :, kjer:

  • - podlagi stopnje;
  • - eksponent.

Stopnja z naravnim indikatorjem

Opredelimo pojem stopnje, katere indeks je naravno število (to je celo število in pozitivno).

  1. Po definiciji:.
  2. Če želite kvadrirati številko, jo pomnožite:
  3. Zgraditi številko v kocko pomeni, da jo trikrat pomnožimo:.

Povišanje števila na naravno stopnjo pomeni, da se število samodejno znova poveča:

Stopnja s celim številom

Če je eksponent pozitivno celo število:

, n> 0

Višina na ničelno stopnjo:

, a ≠ 0

Če je eksponent negativno celo število:

, a ≠ 0

Opomba: izraz ni definiran, če je n ≤ 0. Če je n> 0, potem

Stopnja z racionalnim kazalnikom

  • a> 0;
  • n je naravno število;
  • m je celo število;

Lastnosti stopinj

Root

Aritmetični kvadratni koren

Enačba ima dve rešitvi: x = 2 in x = -2. To so številke, katerih kvadrat je 4.

Razmislite o enačbi. Narišemo graf funkcije in vidimo, da ima ta enačba tudi dve rešitvi, eno pozitivno, drugo pa negativno.

Toda v tem primeru rešitve niso cela števila. Poleg tega niso racionalni. Za zapisovanje teh iracionalnih odločitev uvajamo poseben kvadratni koren.

Aritmetični kvadratni koren je ne-negativno število, katerega kvadrat je a ≥ 0. Če je a

Stopnja in njene lastnosti. Določitev stopnje

Oddelki: Matematika

Seznaniti študente z lastnostmi stopinj z naravnimi kazalci in naučiti, kako izvajati dejanja s stopinjami.

Tema »Stopnja in njene lastnosti« vključuje tri vprašanja:

  • Določitev stopnje z naravnim indikatorjem.
  • Množenje in delitev oblasti.
  • Povečanje stopnje proizvoda in stopnje.

  • Oblikujte definicijo stopnje z naravnim indeksom, ki je večji od 1. Podajte primer.
  • Formulirajte definicijo diplome z indikatorjem 1. Podajte primer.
  • Kakšen je vrstni red dejanj pri izračunu vrednosti izraza, ki vsebuje stopnjo?
  • Formulirajte osnovno lastnost diplome. Daj primer.
  • Formulirajte pravilo množenja stopinj z istimi bazami. Daj primer.
  • Formulirajte pravilo delitve stopinj z istimi bazami. Daj primer.
  • Oblikujte pravilo za stopnjo dela. Daj primer. Dokaži identiteto (ab) n = a n • b n.
  • Oblikujte pravilo stopnje stopnjevanja. Daj primer. Dokaži identiteto (a m) n = a m n.
  • Stopnja a z naravnim indeksom n večjim od 1 je produkt n faktorjev, od katerih je vsak a. Stopnja a z indeksom 1 je sama številka.

    Stopnja z bazo a in indeks n je napisana takole: a n. Preberite "a na moč n"; "N-ta moč".

    Po definiciji je stopnja:

    Iskanje vrednosti stopnje se imenuje eksponentiranje.

    1. Primeri eksponenta: t

    0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

    (-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

    2. Predstavljajte si v obliki kvadratne številke: 25; 0,09;

    25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

    3. V obliki kocke predstavite številke:

    27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

    4. Poiščite vrednosti izrazov:

    a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

    b) -2 4 + (-3) 2 = 7
    2 4 = 16
    (-3) 2 = 9
    -16 + 9 = 7

    1. Napiši delo kot diplomo:

    c) b • b • b • b • b • b • b

    d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

    d) (ab) • (ab) • (ab)

    2. V obliki kvadratne številke: t

    3. V obliki kocke predstavite številke:

    4. Poiščite vrednosti izrazov:

    Za poljubno število in poljubno število m in n:

    a m a n = a m + n.

    Pravilo: Pri množenju stopinj z enakimi bazami osnove ostanejo nespremenjene, eksponenti pa se združijo.

    a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

    1. Prisotna kot diploma:

    a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

    b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

    c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

    d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

    d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

    2. Predstavite kot stopnjo in poiščite vrednost v tabeli:

    a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

    b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

    1. Prisotna kot diploma: t

    a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

    b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

    c) 4 • c) 7 4 • 49

    d) a • a 8 i) 16 • 2 7

    e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

    2. Predstavite kot stopnjo in poiščite vrednost v tabeli:

    a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

    b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

    Za poljubno število 0 in poljubna pozitivna cela števila m in n, tako da je m> n resnično:

    a m: a n = a m - n

    a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

    po definiciji zasebno:

    a m: a n = a m - n.

    Pravilo: Pri razdeljevanju stopinj z enakimi bazami je osnovna leva enaka in stopnja delitelja se odšteje od eksponenta.

    Opredelitev: Stopnja a ni enaka nič, pri čemer je ničelni eksponent enak eni:

    Številke Stopnja števila.

    Znano je, da je vsota več enakih komponent mogoče najti z množenjem. Na primer: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Takšen izraz naj bi bil vsota enakih komponent, ki so se spremenile v izdelek. In obratno, če beremo to enakost od desne proti levi, dobimo, da smo razširili vsoto enakih izrazov. Podobno lahko produkt več enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 = 5 6 strnemo.

    To pomeni, da namesto množenja šestih enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 napišejo 5 6 in rečejo »pet do šeste stopnje«.

    Izraz 5 6 je moč števila, kjer:

    5 - osnova stopnje;

    6 - eksponent.

    Dejanja, s katerimi je zmnožek produkta enakih faktorjev zmanjšan na moč, se imenujejo eksponentija.

    Na splošno je stopnja z osnovo "a" in indeksom "n" napisana kot

    Za dvig števila a na moč n pomeni najti produkt n faktorjev, od katerih je vsak a

    Če je osnova stopnje "a" 1, potem je vrednost stopnje za vsako naravno n 1. Na primer, 1 5 = 1, 1 256 = 1

    Če dvignemo število “a” na prvo stopnjo, dobimo samo število a: a 1 = a

    Če dvignemo poljubno število na ničelno stopnjo, potem kot rezultat izračunov dobimo eno. a 0 = 1

    Posebej upoštevajte drugo in tretjo stopnjo. Za njih je prišlo do imena: druga stopnja se imenuje kvadrat števila, tretja - kocka tega števila.

    Vsako število se lahko dvigne na pozitivno, negativno ali ničelno moč. Ne uporablja naslednjih pravil:

    -z ugotavljanjem stopnje pozitivnega števila dobimo pozitivno število.

    -pri izračunu ničle v naravni stopnji dobimo nič.

    - pri izračunu stopnje negativnega števila je lahko rezultat pozitivno in negativno število. To je odvisno od tega, ali je eksponent liho ali liho.

    Če rešimo nekaj primerov za izračun stopnje negativnih števil, se izkaže, da če izračunamo liho stopnjo negativnega števila, bo rezultat številka s predznakom minus. Ker, ko pomnožimo liho število negativnih dejavnikov, dobimo negativno vrednost.

    Če za negativno število izračunamo celo stopnjo, bo rezultat pozitivno število. Ker, ko pomnožimo celo število negativnih dejavnikov, dobimo pozitivno vrednost.

    Stopnja lastnosti z naravnim indikatorjem.

    Da bi stopinje pomnožili z istimi bazami, ne spreminjamo baz in dodajamo eksponentov stopinj:

    na primer: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

    Za ločevanje stopinj z istimi bazami osnove ne spreminjamo, temveč odštejemo eksponente:

    na primer: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

    Pri izračunu stopnje stopnje ne spreminjamo osnove in pomnožimo eksponentov stopinj.

    na primer: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

    Če je potrebno erekcijo izračunati do stopnje izdelka, potem se vsak faktor dvigne do te stopnje.

    na primer: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

    Pri izračunih gradnje ulomka dvignemo števec in imenovalec frakcije na to moč.

    na primer: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

    Zaporedje izračunov pri delu z izrazi, ki vsebujejo stopnjo.

    Pri izvajanju izračunov, izrazov brez oklepajev, ki vsebujejo stopinje, najprej opravite eksponentiranje, nato pomnožite in delite dejanja, šele nato dodajte in odštejte operacije.

    Če je treba izračunati izraz, ki vsebuje oklepaje, potem najprej v zgoraj navedenem vrstnem redu, naredimo izračune v oklepajih in nato preostale akcije v istem vrstnem redu z leve proti desni.

    Zelo široko v praktičnih izračunih za poenostavitev izračunov uporabite pripravljene tabele stopinj.

    Pojasnite, kako poiskati moč številke

    Prihranite čas in ne vidite oglasov s storitvijo Knowledge Plus

    Prihranite čas in ne vidite oglasov s storitvijo Knowledge Plus

    Odgovor

    Odgovor je podan

    19kot

    Povežite Knowledge Plus za dostop do vseh odgovorov. Hitro, brez oglaševanja in odmora!

    Ne zamudite pomembnega - povežite Knowledge Plus, da boste takoj videli odgovor.

    Oglejte si videoposnetek za dostop do odgovora

    Oh ne!
    Pogledi odgovorov so končani

    Povežite Knowledge Plus za dostop do vseh odgovorov. Hitro, brez oglaševanja in odmora!

    Ne zamudite pomembnega - povežite Knowledge Plus, da boste takoj videli odgovor.

    Oglejte si videoposnetek za dostop do odgovora

    Oh ne!
    Pogledi odgovorov so končani

    • Komentarji
    • Označi kršitev

    Odgovor

    Odgovor je podan

    Nadirka212

    Najbolj razumna stvar je razgraditi število v osnovne faktorje, nato pa najdete tako osnovo kot eksponent.
    Če je baza znana, se indikator lahko najde z logaritmizacijo, na primer,
    2 ^ x = 8
    Da bi našli x, morate prešteti oba dela baze 2
    x = prijavite bazo 2 od 8 = ln 8 / ln 2 (to se lahko izračuna na kalkulatorju) = 3
    Če je indikator znan, se osnovica najde z izvlekom korena, na primer
    x ^ 3 = 8
    izvlecite kubični koren iz obeh delov
    x = kubični koren 8 = 2

    Če nobeden od njiju ne pozna enega ali drugega, razgradi število v osnovne dejavnike, se to stori tako, da zaporedno delimo število na osnovne dejavnike
    614656/2 = 307328
    307328/2 = 153664
    153664/2 = 76832
    76832/2 = 38416
    38416/2 = 19208
    19208/2 = 9604
    9604/2 = 4802
    4802/2 = 2401
    2401 ni deljivo z 2, s 3, s 5 (zaporedoma se ponavljajo na praštevilke)
    2407/7 = 343
    343/7 = 49
    49/7 = 7
    7/7 = 1
    Skupaj smo jih razdelili za 2 osemkrat in sedemkrat štirikrat
    614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
    Če želimo poiskati predstavitev v obliki a ^ b z naravnimi a in b in b morata biti maksimalna, potem moramo kot b vzeti GCD stopinj, dobljenih pri razgradnji, v primarne faktorje, to je v tem primeru b = GCD (8.4) = 4
    osnova stopnje a bo 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

    Stopnja in njene lastnosti. Začetna raven.

    Stopnja je izraz obrazca :, kjer:

    Stopnja s celim številom

    stopnja katere je naravno število (to je celo število in pozitivno).

    Stopnja z racionalnim kazalnikom

    katerih stopnja je negativna in delna števila.

    Stopnja z iracionalnim eksponentom

    stopnja, katere eksponent je neskončni decimalni del ali koren.

    Lastnosti stopinj

    Značilnosti stopinj.

    • Negativno število, dvignjeno na enakomerno moč, je pozitivno število.
    • Negativno število, dvignjeno na liho moč, je negativno število.
    • Pozitivno število na katero koli stopnjo je pozitivno število.
    • Nič je enaka kateri koli stopnji.
    • Vsaka številka je nič.

    Kakšna je moč številke?

    Eksponiranje je ista matematična operacija kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

    Zdaj bom razložil vse v človeškem jeziku z zelo preprostimi primeri. Bodite pozorni. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

    Začnimo z dodatkom.

    Tukaj ni ničesar, kar bi razložili. Vse že veste: nas je osem. Vsaka ima dve steklenici kola. Koliko je kola? Tako je - 16 steklenic.

    Sedaj pomnožite.

    Isti primer s Coke lahko napišemo drugače:. Matematiki so prebrisani in leni ljudje. Najprej opazijo nekatere vzorce in nato dobijo način, da jih hitro "preštejejo". V našem primeru so opazili, da ima vsak od osmih ljudi enako število steklenic kola in je dobil napravo, imenovano množenje. Priznajte, da je to lažje in hitreje kot.

    Tu je tabela množenja. Ponovi.
    Torej, da bi računali hitreje, lažje in brez napak, si morate zapomniti tabelo množenja. Seveda lahko vse počnete počasneje, težje in z napakami! Toda...

    Tu je tabela množenja. Ponovi.

    In drugo, lepše:

    Katere druge pametne trike računa so izumili leni matematiki? Pravilno - uvedba števila v stopnjo.

    Povišanje števila na moč.

    Če morate število samih pomnožiti petkrat, potem matematiki pravijo, da morate to številko zgraditi do pete stopnje. Na primer. Matematiki si zapomnijo, da sta to dve do pete stopnje. In rešiti te uganke v mislih - hitreje, lažje in brez napak.

    Če želite to narediti, si zapomnite, kaj je označeno z barvo v tabeli stopinj številk. Verjemite mi, to vam bo olajšalo življenje.

    Mimogrede, zakaj se druga stopnja imenuje kvadrat števila, tretja pa kocka? Kaj to pomeni? Zelo dobro vprašanje. Sedaj boste imeli kvadrate in kocke.

    Primer iz življenja №1.

    Začnimo s kvadratom ali številko druge stopnje.

    Predstavljajte si kvadratni bazen, ki meri metre po metrih. Bazen je v tvoji dachi. Vročina in resnično želite plavati. Ampak... bazen brez dna! Treba je položiti dno bazena. Koliko ploščic potrebujete? Da bi to ugotovili, morate poznati območje dna bazena.

    Lahko preprosto računate, da pokažete prst, da je dno bazena sestavljeno iz kock metra na meter. Če imate meter metrov po metru, boste potrebovali kose. To je enostavno... Ampak kje si videl tako ploščico? Ploščica bo bolj verjetno videla cm, potem pa vas bo mučil »prst«. Potem se morate pomnožiti. Torej, na eni strani dna bazena, bomo namestili ploščice (koščke), na drugi pa tudi ploščice. Če pomnožite z, dobite ploščice ().

    Ali ste opazili, da smo za določitev območja dna bazena sami pomnožili isto številko? Kaj to pomeni? Ko se enako število pomnoži, lahko uporabimo tehniko »eksponente«. (Seveda, če imate le dve številki, jih še vedno pomnožite ali dvignite na moč. Ampak, če jih imate veliko, potem je njihovo dviganje na moč veliko enostavnejše in napake pri izračunu so tudi manjše. Za Unified State Exam je to zelo pomembno).
    Torej bo trideset do druge stopnje (). Lahko pa rečete, da bo trideset na kvadrat. Z drugimi besedami, druga stopnja številke je lahko vedno predstavljena kot kvadrat. Nasprotno, če vidite kvadrat, je VEDNO druga moč določene številke. Kvadrat je slika druge stopnje številke.

    Primer iz življenja №2.

    Tukaj je naloga za vas, izračunajte koliko kvadratov na šahovnici s pomočjo kvadrata števila. Na eni strani celic in na drugi strani. Če želite izračunati njihovo število, potrebujete osemkrat osem ali... če opazite, da je šahovnica kvadrat s stranico, lahko zgradite osem kvadratov. Vzemi celico. () Torej?

    Primer iz življenja številke 3.

    Sedaj kocka ali tretja moč številke. Isti bazen. Zdaj pa moraš vedeti, koliko vode moraš naliti v ta bazen. Izračunati morate količino. (Mimogrede količine in tekočine se merijo v kubičnih metrih. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno je en meter velik in globok enega metra in poskusite izračunati, koliko kock v metru do metra bo šlo v vaš bazen.

    Samo usmerite prst in štejte! Ena, dva, tri, štiri... dvaindvajset, triindvajset... Koliko se je zgodilo? Ne ven Je težko računati s prstom? To je to! Vzemite primer matematikov. So leni, zato so opazili, da je za izračun prostornine bazena potrebno pomnožiti svojo dolžino, širino in višino. V našem primeru bo volumen bazena enak kockam... Je lažje, kajne?

    In zdaj si zamislite, kako so matematiki leni in zviti, če so ga tudi poenostavili. Vse je pripeljalo do ene same akcije. Opazili so, da sta dolžina, širina in višina enaki in da se isto število pomnoži s samim seboj... In kaj to pomeni? To pomeni, da lahko uporabite stopnjo. Torej, to, kar ste nekoč šteli kot prst, delajo v enem dejanju: tri v kocki so enake. Tako je napisano:.

    Ostaja le, da se spomnimo tabele stopinj. Če ste seveda kot leni in zviti kot matematiki. Če želite delati trdo in delati napake, lahko še naprej štetje s prstom.

    No, da bi vas končno prepričali, da so diplome izmislili ljudje, ki so odšli in zavajalci, da bi rešili svoje življenjske težave, in ne zato, da bi vam ustvarili težave, tukaj je še nekaj primerov iz življenja.

    Primer iz življenja №4.

    Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta zaslužite na vsak milijon novih milijonov. To pomeni, da se vsak vaš milijon na začetku vsakega leta podvoji. Koliko denarja boste imeli v letih? Če sedite in "štejete prst", potem ste zelo pridni in... neumni. Ampak najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dvakrat dva... v drugem letu - kaj se je zgodilo, še dva, v tretjem letu... Stop! Opazili ste, da se številka enkrat pomnoži. Torej, dva do pete stopnje - milijon! Zdaj pa si zamislite, da imate tekmovanje in tisti, ki prejmejo milijon, bodo hitreje izračunali... Pomembno je, da se spomnite stopenj števil, kako mislite?

    Primer življenja 5.

    Imate milijon. Na začetku vsakega leta zaslužite na vsakih dva milijona. Resnično? Vsak milijon trojic. Koliko denarja boste imeli v enem letu? Poglejmo. Prvo leto je, da se pomnožimo, potem je rezultat še vedno... To je že dolgočasno, ker ste že razumeli vse: trikrat se množi sama od sebe. Torej je četrta stopnja enaka milijonu. Samo zapomniti si je treba, da je tri do četrte stopnje ali.

    Zdaj veste, da boste s pomočjo dviga števila na moč močno olajšali svoje življenje. Poglejmo še kaj lahko naredite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

    Izrazi in pojmi.

    Začnimo torej z opredelitvijo pojmov. Kaj mislite, da je eksponent? To je zelo preprosto - to je številka, ki je "na vrhu" moči števila. Ni znanstveno, ampak razumljivo in enostavno zapomniti...

    Torej hkrati, kaj je osnova stopnje? Še enostavnejše je število na dnu, na dnu.

    Tukaj je slika za vašo zvestobo.

    No, na splošno, da povzamemo in bolje zapomnimo... Stopnja z bazo " in indikator " se bere kot "do stopnje" in je napisana takole:

    Zakaj pravimo "stopnja števila z naravnim indikatorjem"?

    "Stopnja številk z naravnim indikatorjem"

    Verjetno ste že uganili: ker je eksponent naravna številka. Ja, ampak kaj je naravno število? Osnovno! Naravna števila so tista, ki se uporabljajo v računu pri uvrščanju postavk: ena, dve, tri... Ko preštejemo postavke, ne rečemo: »minus pet«, »minus šest«, »minus sedem«. Prav tako ne rečemo: "ena tretjina" ali "ničelna točka, pet desetin". To niso naravna števila. In kaj so te številke, kot mislite?

    Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem" se nanašajo na celo število. Na splošno so celo število števil naravnih številk, številk nasproti naravnim številkam (tj. Z znakom minus) in številke. Zero je enostavno razumeti - to je, ko ni ničesar. Kaj pomenijo negativne ("negativne") številke? Ampak oni so izumili najprej za določitev dolgov: če imate stanje na telefonu v rubljih, to pomeni, da dolgujete operaterja rubljev.

    Frakcije vseh vrst so racionalne številke. Kako so prišli, kaj mislite? Zelo preprosto. Pred tisočimi leti so naši predniki odkrili, da nimajo naravnega števila za merjenje dolžine, teže, površine itd. In prišli so do razumnih številk... Zanimivo, kajne?

    Še vedno obstajajo iracionalne številke. Kaj so te številke? Na kratko, neskončna decimalka. Na primer, če je obod deljen s premerom, dobimo iracionalno številko.

    Povzetek:

    • Naravna števila so številke, uporabljene pri štetju, to je itd.
    • Integer - vse naravne številke, naravna števila z minusom in število 0.
    • Frakcijske številke veljajo za racionalne.
    • Neracionalne številke so neskončne decimalke

    Stopnja z naravnim indikatorjem

    Opredelimo pojem stopnje, katere indeks je naravno število (tj. Celo število in pozitivno).

    1. Vsako število v prvi stopnji je enako sebi:
    2. Če želite kvadrirati številko, jo pomnožite:
    3. Zgraditi številko v kocko pomeni, da jo trikrat pomnoži:

    Opredelitev Povišanje števila na naravno stopnjo pomeni, da se število samodejno znova poveča:
    .

    Stopnja števila: definicije, oznake, primeri

    V okviru tega gradiva analiziramo, kakšna je stopnja števila. Poleg osnovnih definicij formuliramo, kaj je stopnja z naravnimi, celovitimi, racionalnimi in iracionalnimi kazalniki. Kot vedno bodo vsi koncepti ponazorjeni s primeri nalog.

    Stopnje z naravnimi eksponenti: koncept kvadrata in kocke številke

    Najprej formuliramo osnovno definicijo stopnje z naravnim indeksom. Za to se moramo spomniti osnovnih pravil množenja. Vnaprej pojasnimo, da bomo kot osnovo zaenkrat vzeli realno število (označeno s črko a) in kot indikator naravno število (označeno s črko n).

    Stopnja a z naravnim indeksom n je produkt n-tega števila faktorjev, od katerih je vsak enak številu a. Stopnja je zapisana takole: a n in v obliki formule je njena sestava predstavljena na naslednji način:

    Na primer, če je eksponent 1 in je baza a, potem je prva moč a zapisana kot 1. Glede na to, da je a vrednost množilnika in 1 število multiplikatorjev, lahko sklepamo, da je a 1 = a.

    Na splošno lahko rečemo, da je stopnja primerna oblika beleženja velikega števila enakih dejavnikov. Tako se lahko tip zapisa 8,8 × 8,8 zmanjša na 8 4. Približno isto delo nam pomaga, da se izognemo pisanju velikega števila izrazov (8 + 8 + 8 + 8 = 8,4); to smo že analizirali v članku, namenjenem množenju naravnih števil.

    Kako brati zapis o stopnji? Splošno sprejeta možnost je »a na moč n«. Lahko pa rečete "n-ti stopnji a" ali "n-ti stopnji." Če, recimo, v primeru, ki smo ga srečali z zapisom 8, 12, lahko beremo »8 do 12. stopnje«, »8 do stopnje 12« ali »12. stopnja do 8.«.

    Druga in tretja stopnja imata dobro uveljavljena imena: kvadrat in kocka. Če vidimo drugo stopnjo, na primer številko 7 (7 2), potem lahko rečemo "7 kvadrat" ali "kvadrat števila 7". Podobno se tretja stopnja glasi takole: 5 3 je "kocka števila 5" ali "5 v kocki". Vendar pa je možno uporabiti tudi standardno besedilo „v drugi / tretji stopnji“, ne bo napaka.

    Oglejmo si primer stopnje z naravnim indikatorjem: za 5 7 bo pet osnove, sedem pa indikator.

    Osnova ni nujno celo število: za stopnjo (4, 32) 9 bo osnova del 4, 32, kazalnik pa bo devet. Bodite pozorni na oklepaje: tak vnos je narejen za vse stopnje, katerih osnove se razlikujejo od naravnih števil.

    Na primer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

    Za kakšne oklepaje? Pomagajo preprečiti napake pri izračunih. Recimo, da imamo dva vnosa: (- 2) 3 in - 2 3. Prvi od njih pomeni negativno število minus dva, dvignjeno na moč z naravnim indeksom treh; drugi je število, ki ustreza nasprotni vrednosti stopnje 2 3.

    Včasih lahko v knjigah naletimo na nekoliko drugačen črkovanje moči števila - a ^ n (kjer je a baza in n indikator). To je 4 ^ 9 enako kot 4 9. Če je n več vrednost, se vzame v oklepajih. Na primer, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Uporabili bomo zapis n kot pogostejši.

    Kako izračunati vrednost diplome z naravnim indeksom, je preprosto uganiti iz njene definicije: morate samo pomnožiti n število krat. Več o tem smo zapisali v drugem članku.

    Koncept stopnje je nasprotje drugega matematičnega pojma - korena številke. Če poznamo vrednost stopnje in eksponenta, lahko izračunamo njeno osnovo. Stopnja ima nekaj specifičnih lastnosti, ki so uporabne za reševanje problemov, ki smo jih razstavili v ločenem materialu.

    Kaj je stopnja s celotnim indikatorjem

    Kar zadeva stopinje, lahko obstajajo ne samo naravna števila, temveč na splošno vse celoštevilske vrednosti, vključno z negativnimi in ničlami, ker spadajo tudi v niz celih števil.

    Stopnja števila s pozitivnim številom se lahko prikaže kot formula :.

    Poleg tega je n vsako pozitivno celo število.

    Razumeli bomo koncept ničelne stopnje. V ta namen uporabimo pristop, ki upošteva lastnost posameznika za moč z enakimi osnovami. Oblikuje se tako:

    Enakost a m: a n = a m - n velja v pogojih: m in n sta naravna števila, m n, a. 0.

    Slednji pogoj je pomemben, ker preprečuje delitev na nič. Če so vrednosti m in n enake, dobimo naslednji rezultat: a n: a n = a n - n = a 0

    Hkrati pa je n: a n = 1 količnik enakih števil n in a. Izkazalo se je, da je ničelna moč katere koli ničelne številke ena.

    Vendar to dokazilo ne velja za stopnjo nič do nič. Za to potrebujemo drugo lastnost stopinj - lastnost produktov stopinj z enakimi osnovami. Izgleda tako: a m · a n = a m + n.

    Če je n 0, potem je a m · 0 = a m (ta enakost nam tudi dokazuje, da je 0 = 1). Ampak, če in je nič, je naša enakost v obliki 0 m · 0 0 = 0 m, velja za vsako naravno vrednost n in ni pomembno, kakšna je vrednost stopnje 0 0, to pomeni, da je lahko enaka poljubnemu številu in ne bo vplivalo na zvestobo enakosti. Zato zapis 0 0 nima svojega posebnega pomena in mu ga ne bomo pripisovali.

    Po želji lahko preprosto preverimo, da a 0 = 1 konvergira z lastnostjo stopnje (a m) n = a m · n, pod pogojem, da je osnova stopnje ne-nič. Tako je stopnja katerekoli ničelne številke z ničelnim eksponentom ena.

    Poglejmo primer s konkretnimi številkami: Torej, 5 0 je enota, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, vrednost 0 0 pa ni definirana.

    Po ničelni stopnji ostaja, da ugotovimo, kakšna je stopnja negativna. Za to potrebujemo isto lastnost produkta stopinj z enakimi osnovami, ki smo jih že uporabili zgoraj: a m · a n = a m + n.

    Vnesemo pogoj: m = - n, potem a ne sme biti nič. Iz tega sledi, da a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Izkazalo se je, da sta n in a - n medsebojno inverzna števila.

    Posledično je v celotni negativni stopnji nič drugega kot frakcija 1 a n.

    Takšna formulacija potrjuje, da so za stopnjo s celotnim negativnim indeksom veljavne vse enake lastnosti kot stopnja z naravnim indeksom (pod pogojem, da baza ni nič).

    Stopnjo a z negativnim celim številom n lahko predstavimo kot frakcijo 1 a n. Torej, a - n = 1 a n pod pogojem a and 0 in n je katerokoli pozitivno celo število.

    Svojo misel ponazarjamo s konkretnimi primeri:

    3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

    V zadnjem delu odstavka bomo poskušali prikazati vse, kar je jasno navedeno v eni formuli:

    Stopnja a z naravnim indeksom z je: az = az, e z l in z je celo število a l, z je 0 in z = 0 in a, 0, (p p p in z = 0 in a = 0 p o o c e s i 0 0, kar pomeni, da je 0 0 n e O f e d i i i) 1 az, c in z je celovit odsek 0 ( e sl in z - je celo število serije in a = 0 neskončno z i 0 z, ego približno O d o o d ije i i)

    Kaj je racionalni eksponent?

    Obravnavali smo primere, kjer je celo število v eksponentu. Vendar pa je mogoče dvigniti število na moč, tudi če je delno število v indeksu. To se imenuje racionalni eksponent. Na tej točki dokazujemo, da ima enake lastnosti kot druge stopnje.

    Kaj so racionalne številke? Njihova množica vključuje tako cele kot delne številke, delna števila pa lahko predstavimo kot navadne frakcije (pozitivne in negativne). Opredelimo definicijo stopnje a z delnim eksponentom m / n, kjer je n pozitivno celo število in m je celo število.

    Imamo nekaj stopenj z delnim eksponentom a m n. Da bi lastnost stopinje do stopnje držala, mora biti enakost a m n n = a m n · n = m.

    Če upoštevamo definicijo korena n-te stopnje in da je m n n = a m, lahko sprejmemo pogoj a m n = a m n, če je m n smiselno pri danih vrednostih m, n in a.

    Zgornje lastnosti stopnje s celim številom bodo resnične pod pogojem a m n = a m n.

    Glavni zaključek iz našega sklepanja je naslednji: stopnja določenega števila a z delnim eksponentom m / n je koren n-te stopnje od števila a do stopnje m. To velja, če za dane vrednosti m, n in a izraz a m n ohrani svoj pomen.

    Nato moramo ugotoviti, kakšne omejitve na vrednosti spremenljivk nalagajo tak pogoj. Obstajata dva pristopa k reševanju tega problema.

    1. Vrednost osnove stopnje lahko omejimo: vzamemo a, ki bo za pozitivne vrednosti m višja ali enaka 0, za negativne vrednosti pa strogo manj (ker za m ≤ 0 dobimo 0 m in ta stopnja ni definirana). V tem primeru bo določitev stopnje z delnim indeksom naslednja:

    Stopnja z delnim eksponentom m / n za določeno pozitivno število a je n-ti koren dvignjenega na m. V obliki formule lahko to predstavimo kot:

    Za stopnjo z ničelno osnovo je ta položaj tudi primeren, vendar le, če je njen indeks pozitivno število.

    Stopnjo z ničelno osnovo in delno pozitivno m / n lahko izrazimo kot

    0 m n = 0 m n = 0 pod pogojem celotnega pozitivnega m in naravnega n.

    Pri negativnem razmerju m n 0 stopnja ni določena, t.j. tak zapis ni smiseln.

    Zapomnite si eno točko. Ker smo uvedli pogoj, da je a večji ali enak nič, smo padli v nekaj primerih.

    Izraz a m n je včasih še vedno smiseln za nekatere negativne vrednosti a in nekaj m. Torej so vnosi (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 pravilni, pri čemer je osnova negativna.

    2. Drugi pristop je ločeno obravnavati koren a m n s pravimi in nenavadnimi indeksi. Potem bomo morali vnesti še en pogoj: stopnja a, v indeksu, za katero je vredno zmanjšana frakcija, se šteje za stopnjo a, v indeksu katere je ustrezni nespremenljivi del, ki ji pripada. Kasneje bomo pojasnili, zakaj je ta pogoj za nas in zakaj je tako pomemben. Torej, če imamo zapis m · k n · k, ga lahko zmanjšamo na m n in poenostavimo izračune.

    Če je n liho število in m pozitivno, je a vse ne-negativno število, potem je smiselno mn. Pogoj nenegativnega a je potreben, saj koren parne moči ni izločen iz negativnega števila. Če je vrednost m pozitivna, je a lahko negativna in ničelna iz katere koli realne številke lahko izločite liho stopnjo korena.

    Združite vse podatke iz zgornjih definicij v enem zapisu:

    Tu m / n pomeni nespremenljivo frakcijo, m je poljubno celo število, n pa katero koli pozitivno celo število.

    Za vsako navadno zmanjšano frakcijo m · k n · k lahko stopnjo nadomestimo z m n.

    Stopnja števila a z nesvodljivim delnim indeksom m / n se lahko izrazi kot m n v naslednjih primerih: - za katero koli realno vrednost a, pozitivno celo število m in lovne naravne vrednosti n. Primer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

    - za vse neničelne realne a, celo število negativnih vrednosti m in liho vrednosti n, na primer 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

    - za vse negativne a, celo število pozitivnih vrednosti m in celo n, na primer 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

    - za vsako pozitivno a, celo število negativno m in celo n, na primer 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

    Pri drugih vrednostih stopnja z delnim eksponentom ni definirana. Primeri takih stopenj: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

    Sedaj razložimo pomembnost zgoraj navedenega pogoja: zakaj zamenjati frakcijo z zmanjšanim indeksom z ulomkom z nespremenljivim delom. Če tega ne bi storili, bi imeli takšne situacije, recimo 6/10 = 3/5. Potem naj bo to res (- 1) 6 10 = - 1 3 5, vendar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 in (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

    Določitev stopnje z delnim indeksom, ki smo jo navedli prvi, je bolj primerna za izvajanje kot druga, zato jo bomo uporabili še naprej.

    Tako je stopnja pozitivnega števila a z delnim indeksom m / n definirana kot 0 m n = 0 m n = 0. V primeru negativnega a, vnos a m n nima smisla. Stopnja nič za pozitivne delne kazalnike m / n je definirana kot 0 m n = 0 m n = 0, pri negativnih delnih kazalnikih pa ne določimo stopnje nič.

    V sklepih ugotavljamo, da lahko zapišemo vsak frakcijski indeks tako v obliki mešanega števila kot v obliki decimalnega deleža: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

    Pri izračunavanju je bolje, da eksponent zamenjate z navadno frakcijo in nato uporabite definicijo frakcijske frakcije. Za zgornje primere dobimo:

    5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

    Kaj je stopnja z iracionalnim in veljavnim kazalnikom

    Kaj so resnične številke? Njihov sklop vključuje tako racionalne kot iracionalne številke. Zato moramo, da bi razumeli, kakšna je stopnja z veljavnim kazalnikom, definirati stopnje z racionalnimi in iracionalnimi kazalniki. O racionalnosti smo že omenili zgoraj. Ukvarjali se bomo z iracionalnimi kazalniki korak za korakom.

    Recimo, da imamo iracionalno število a in zaporedje njenih decimalnih aproksimacij a 0, a 1, a 2,.... Na primer, vzemite vrednost a = 1, 67175331... potem

    a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

    in tako naprej (s samimi približki so racionalne številke).

    Zaporedja približkov lahko povežemo z zaporedjem stopenj a a 0, a a 1, a a 2.... Če se spomnimo, da smo prej povedali o dvigu števila na racionalno stopnjo, lahko sami izračunamo vrednosti teh stopenj.

    Vzemimo za primer a = 3, nato a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,... in tako naprej

    Zaporedje stopinj se lahko zmanjša na število, ki je vrednost stopnje c z bazo a in iracionalnega indeksa a. Povzetek: stopnja z iracionalnim indeksom oblike 3 1, 67175331.. lahko zmanjšamo na 6, 27.

    Stopnja pozitivnega števila a z iracionalnim eksponentom a je zapisana kot a. Njegova vrednost je meja zaporedja a a, a a 1, a a... kjer je 0, 1, 2,... so zaporedne decimalne aproksimacije iracionalne številke a. Za pozitivne iracionalne kazalnike lahko definiramo tudi stopnjo ničelne osnove z 0 a = 0 0 0 = 0, 0 21 3 3 = 0. Pri negativnih pa to ni mogoče storiti, ker je na primer vrednost 0 - 5, 0 - 2 π nedefinirana. Enota, dvignjena na katero koli iracionalno stopnjo, ostane enota, na primer, in 1 2, 1 5 do 2 in 1-5 bodo enaki 1.